[25수능 수학] 교육과정에 근거한 22번 해설

22번 문항은 성취기준 코드 [12수학Ⅰ03-06]의 평가기준 "중"에 속한다.

 

[12수학Ⅰ03-06] 수열의 귀납적 정의를 이해한다.

 

[평가준거 성취기준 ①] 수열의 귀납적 정의를 이해할 수 있다.

 

[평가기준] 중: 수열의 귀납적 정의에 대해 말할 수 있고, 관계가 간단한 수열을 귀납적으로 정의할 수 있다.

 

이 평가기준이 당황스러울 수 있는데

 

이 문제는 수열을 귀납적으로 "정의해야만 한다."

 

흔히 역추적이라 하는 기술을 말한다.

물론, 분기가 나뉘므로 귀납적 정의가 아니라고 주장할 수 있겠지만

 

분기점마다의 수열을 서로 다른 수열로 보기 때문에

그런 말은 그다지 융통성 없는 말이라 생각한다.

 

또한, 초반에 몇몇 항들을 간단하게 살펴보며

발견적이든 연역적이든

 

일단 추론하여 수열의 핵심 원리를 발견하여야 하며

그러지 않는다면 문제 풀이 시간이 많이 길어질 것이다.

 

사람들이 간과할 수 있는 부분이

왜 굳이 홀수와 "0과" 짝수로 구분하였는지

의심을 했어야 한다는 점이다.

 

정수 $n$에 대해

홀수인 경우와

홀수가 아닌 경우로 두면 더 간결한데

 

굳이 굳이 0이라는 케이스를 구분하였는지

이걸 모르면 일단 틀릴 확률이 50% 이상 올라간다.

 

문제에서 "0 또는 짝수인 경우"는 명시적으로

한 가지 경우만을 지칭하는 것처럼 보이지만

 

문제를 잘 이해하여 0의 특수성을 추론하면

그재서야 이 문제를 온전하게 풀 수 있으므로

 

고도의 이해 능력과 추론 능력을 필요로 한다.

 

따라서, 이 문항이 평가하는 능력은 아래와 같다:

계산 능력

이해 능력

추론 능력(중점적)

---

해당 수열은 귀납적으로 정의되어 있다.

 

홀수와 짝수인 경우는 너무 복잡하게 작용할 수 있으므로

남은 하나의 경우인 $a_n=0$인 경우를 먼저 살펴본다.

 

[1] 만약 $a_n=0$이라면

(이해 능력에 대해 중)

 

(자명한 관계를 먼저 규명하는 것 자체가 이해력을 수반한다.)

 

그 이후의 항은 모두 $0$이 된다는 것을 알 수 있다.

(추론 능력에 대해 상)

 

홀수, 짝수인 경우도 살펴보자.

 

[2] $|a_n|$이 홀수인 경우는 $a_n-3$ 연산을 하게 되는데,

이는 무조건 앞선 항보다 $y$좌표가 낮은 값이라는 것을 의미한다.

(이해 능력에 대해 중)

 

[3] 또한, $|a_n|$이 짝수인 경우는 $\cfrac{a_n}{2}$ 연산을 하게 되는데,

이는 무조건 앞선 항보다 $x$축과의 거리(절댓값)이 줄어든다는 것을 의미한다.

(이해 능력에 대해 중)

 

[4] 따라서, $a_n$이 양수일 때, $a_{n+1}$은 항상 $y$좌표가 $a_n$보다 작다.

(추론 능력에 대해 상)

 

[5] $a_n$이 음수일 때는 그 절댓값이 홀수일 때, $a_{n+1}$의 절댓값이

$a_n$의 절댓값보다 크고 짝수일 때, $a_n$보다 작다.

(추론 능력에 대해 상)

 

[6] (나) 조건과 동치인 명제는 다음과 같다:

 

$|a_3|=|a_5|$이고, $m=1, 2$에 대해 $|a_m|\neq |a_{m+2}|$이다.

(이해 능력에 대해 중)

 

(이 명제를 사용하지 않으면

풀이의 명료성이 떨어진다.)

 

따라서, 일단 $|a_3|=|a_5|$를 찾고

[6]의 조건을 위배하는지 판단하는 것이 이 문제의 핵심이다.

 

문제는 $a_3=\pm a_5$으로 분화할 수 있으며,

두 가지 경우를 조사하여야 한다:

 

1. $a_3=a_5$

2. $a_3=-a_5$

(계산 능력에 대해 하)

 

그런데, $a_n$이 3보다 작은 홀수일 때는

[4]의 조건에 의하여 $a_{n+1}$의 절댓값이

항상 $a_n$보다 작을 것이라는 보장이 없으므로

 

[7] $a_3$이 양수이고 $a_5$가 음수인 경우 2를 만족한다.

(이해 능력에 대해 중)

 

[8] 또한, $a_3$이 음수이고 $a_5$가 음수이면

3을 빼고 2로 나누면

이는 절댓값이 커졌다가 줄어드는 것과 같으므로

$a_3$과 $a_5$가 음수인 경우 1을 만족한다.

 

다만, $a_3$가 음수이면

그 이후의 항은 양수가 될 수 없으므로

2의 경우는 고려하지 않는다.

(이해 능력에 대해 중)

 

[9] 마지막으로, $a_3=0$이면

[1]로 인하여 $a_3=a_5$를 만족한다.

(이해 능력에 대해 중)

 

따라서, 다음 조건을 확인하여야 한다:

 

$a_3$이 양수인 경우

1. $a_3=1$인 경우 (3보다 작은 유일한 홀수이므로)

2. $(a_3-3)/2=-a_3$ (홀수에서 3을 빼면 짝수이므로)

3. $a_3/2-3=-a_3$

 

$a_3$이 음수인 경우

4. $a_3/2-3=a_3$

5. $(a_3-3)/2=a_3$

 

6. $a_3=0$

 

(이해 능력에 대해 중)

 

[10] 1. $a_3=1$일 때

$a_3-3=-2$, $a_4=-1$이므로

$a_3=-a_5$를 만족한다.

(계산 능력에 대해 하)

 

그런데, 이 계산은 2의 경우와 같으므로

2는 생략한다.

 

[11] 3. $a_3/2=-a_3$일 때

$a_3/2-3=-a_3$을 풀면

$a_3=2>0$이므로 성립한다.

(계산 능력에 대해 하)

 

[12] 4. $a_3/2-3=a_3$일 때

해당 방정식을 풀면 $a_3=-6$이다.

(계산 능력에 대해 하)

 

[13] 5. $(a_3-3)/2=a_3$일 때

해당 방정식을 풀면 $a_3=-3$이다.

(계산 능력에 대해 하)

 

이제부터는 가능한 $a_2,\, a_1$을 추적할 것이다.

 

이를 위해서 여러 수열을 한 번에

귀납적으로 정의하여 해결한다.

 

[14] $a_{n+1}+3=a_{n}$은 $|a_n|$이 홀수일 때 가능하다.

따라서, $a_{n+1}$은 반드시 짝수여야 한다.

(이해 능력에 대해 중)

 

[15] $2a_{n+1}=a_n$은 반드시 $|a_n|$이 짝수일 때 가능하다.

그러나, $a_{n+1}$에 2를 곱하면 이미 짝수이므로

굳이 $|a_n|$의 홀짝 여부를 알 필요가 없다.

(이해 능력에 대해 중)

 

따라서, 각각의 수열에서 다음의 정의가 허용된다.

 

[16] $a_n=\begin{cases} a_{n+1}+3 && (a_{n+1} \rm{\,is\;odd}) \\ 2a_{n+1} && (\rm{for \; every \; case}) \end{cases}$

([12수학Ⅰ03-06] 중)

 

즉, $2a_{n+1}$에 대한 분기만 나누어 다시 정의한다면

이는 각각의 수열에 대한 귀납적 정의가 된다.

 

[17] 1. $a_3=1$인 경우

 

$a_3$가 짝수가 아니므로

$a_2$가 무조건 $2$인데,

 

(나) 조건을 본 결과,

$a_4=-2$이므로 배제된다.

(계산 능력에 대해 하)

 

[18] 2. $a_3=2$인 경우

 

$a_2=5$, $a_1=10$

$a_2=4$, $a_1=7$

$a_2=4$, $a_1=8$

 

(나) 조건에 대입하여 보면

$a_4=1$이므로 문제 없다.

(계산 능력에 대해 하)

 

[19] 3. $a_3=-6$인 경우

 

$a_2=-3$, $a_1=-6$

$a_2=-12$, $a_1=-9$

$a_2=-12$, $a_1=-24$

 

(나) 조건에 대입하여 보면

$a_4=-3$이므로

첫째 경우는 배제된다.

(계산 능력에 대해 하)

 

[20] 4. $a_3=-3$인 경우

 

이 경우도 $|a_3|$이 홀수이므로

$a_2=-6$이지만

(계산 능력에 대해 하)

 

(나) 조건에 의하여

$a_4=-6$이므로 배제된다.

(계산 능력에 대해 하)

 

[21] 5. $a_3=0$인 경우

 

$a_2=0$, $a_1=0$

$a_2=3$, $a_2=6$

 

(나) 조건에 의하여

$a_4=0$이므로

 

$a_1=0$ 배제된다.

(계산 능력에 대해 하)

 

([10수학05-01] 중)

(교육과정상, 경우의 수는 "중"수준이다.)

 

(앞선 분기와 다른 도구를 이용하였으므로

개별적인 경우의 수 문제로 판단하였다.)

 

따라서, 모든 $|a_1|$의 합은 다음과 같다:

 

[22] $\therefore\,(10+7+8)$

$+(9+24)+6=25+33+6=64$

(계산 능력에 대해 하)

 

"하"에 속하는 식 또는 절차가 11개

"중"에 속하는 식 또는 절차가 12개

"상"에 속하는 식 또는 절차가 3개이므로 총점은 아래와 같다:

 

총점: 38

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(향후 업데이트)