물리학도의 수학

1부에서 증명한 정리보조정리 1상계에 근접하는 수열다음을 만족하는 수열 $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$은 코시수열이다. (단, $a_0$는 $E$의 상계가 아닌 유리수) $$a_n=\begin{cases} a_{n-1}+\cfrac{1}{n} & (a_{n-1}+\cfrac{1}{n}이\;\,E의\;\,상계가\;\,아님) \\ a_{n-1} & (a_{n-1}+\cfrac{1}{n}이\;\,E의\,\;상계) \end{cases}$$ 보조정리 2상계에 근접하는 수열의 형식적 극한은 동일하다보조정리 1의 수열의 재귀적 정의를 동일하게 적용한 두 수열 $\{b_n\}_{n=0}^{\infty}$, $\{c_n\}_{n=0}^{\infty}$(단, $b_0\neq c_0$)는 동치이다. 2부, 상..

소개 분명 최소상계의 존재성에 대한 내용이 공리인 줄 알았는데이 책에선 그 존재성마저 증명하고 있다. 갑자기 기수에 대한 챕터가 등장하는 것도 그렇고중간마다 폭탄같은 단원들을 하나씩 끼워파는 느낌이다. 우리 스터디 팀에서 이 부분을 같이 증명해보려고 애썼으나첫번째 연습문제마저 못 풀었다... 스터디를 밖에서 했던지라 좀 어수선하기도 했고,그래서 집에서 혼자서라도 어찌저찌 증명을 해보았다. 정리 5.5.9최소상계의 존재성$\mathbb{R}$의 부분집합이며 공집합이 아닌 $E$를 생각하자. $E$가 위로 유계이면 $E$의 최소상계가 하나 존재한다. 해당 정리를 증명할 수 있도록이 책에서는 연습문제를 마련해두었다. 타오는 이를 두고 "큰 노력이 필요하다"고 언급했다.타오가 힘들다 할 정도면... 결국엔 당연..

쿨롱 법칙의 적분화 쿨롱 법칙을 가장 자연스레 이해하는 방법은"각 전하마다" 그에 대응되는 전하량과 거리를 바탕으로쿨롱법칙을 적용시켜 모두 더하는 것이다. 그리고 그 합력은시험전하와 계에 미리 존재하는정전기장과의 상호작용($\overrightarrow{F}=Q\overrightarrow{E}$)으로 나타난다는 것이이전 글의 내용이었다. 이번에는 쿨롱 법칙을연속적인 전하 분포에 대해 적용시켜보자. 그럼, 적분의 기준이 될 미소량을 정하여야 하는데앞서 말했듯, 쿨롱 법칙을 가장 자연스레 이해하기 위해서는전하를 대표하는 "전하량"을 기준으로 삼아야 할 것이다. 따라서, 적분꼴은 아래와 같다. [1] $\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r})=\cfrac{1}{4\pi\epsilon..

정전기장은 흐른다! 공간 위에 어떤 점전하가 놓이는 순간,전기장이라고 하는 것이 공간에 퍼지게 된다. 근데, 중요한 건진짜로 전기장이 퍼진다..!(자세한 건 10장 지연전위 참고) 호숫가에 돌을 던져서2차원 호수의 어떤 점에 파동을 만들면 파동의 속력이 항상 일정하다는 가정하에그 점을 중심으로 해서 파동이 1차원인 원형으로 퍼지듯이 (같은 시간 동안 같은 거리만큼 떨어진 지점에파동이 도달하여야 하므로 그 형태는 원이다.) 진공의 3차원 공간에 점전하를 두면전기장은 2차원인 구의 형태로,심지어 빛의 속력으로 퍼질 것이다. 이 전기장은 계속하여 방사되면서결국 진공을 모두 채우게 될 것이다. (연속적으로 방사되지만퍼지는 속도가 일정하므로세기가 중첩되진 않을 것이다.) 그러면, 점전하로부터어떤 지점의 전기장을 ..

일단, 총평은 공통 수학에 대해서만 진행하기로 하였다. 요청이 있다면 가능한 선에서 추가 해설을 할 수는 있으므로내 해설이 도움이 된다면 댓글로 알려주었으면 좋겠다. 나는, 서문에서 문제 평가 척도의 설계에 대해 말했었다. 다만, 시험 문제를 직접 풀어보는 과정에서몇 가지 모호한 부분이 없지 않아 있었다. 이 단락에서는 이 부분에 대해 일부 해명할 것이다. 척도에 대한 예외처리 첫째로, 요구하는 능력이 마땅한 평가기준으로 나타나지 않은 경우해당 항목이 존재하지만 평가기준이 애매하다면상/중/하의 평가기준 및 교과서를 모두 보고"이 수준보단 높을 것"이라고 타당하게 생각되는 지점으로 평가하였다. 둘째로, 계산 능력이 "전형적인 알고리즘"을 포함하는 능력이므로하나의 계산에 일일이 점수를 부과할 것인지에 대한 ..

22번 문항은 성취기준 코드 [12수학Ⅰ03-06]의 평가기준 "중"에 속한다. [12수학Ⅰ03-06] 수열의 귀납적 정의를 이해한다. [평가준거 성취기준 ①] 수열의 귀납적 정의를 이해할 수 있다. [평가기준] 중: 수열의 귀납적 정의에 대해 말할 수 있고, 관계가 간단한 수열을 귀납적으로 정의할 수 있다. 이 평가기준이 당황스러울 수 있는데 이 문제는 수열을 귀납적으로 "정의해야만 한다." 흔히 역추적이라 하는 기술을 말한다.물론, 분기가 나뉘므로 귀납적 정의가 아니라고 주장할 수 있겠지만 분기점마다의 수열을 서로 다른 수열로 보기 때문에그런 말은 그다지 융통성 없는 말이라 생각한다. 또한, 초반에 몇몇 항들을 간단하게 살펴보며발견적이든 연역적이든 일단 추론하여 수열의 핵심 원리를 발견하여야 하며그러..

21번 문항은 성취기준 코드 [12수학Ⅱ01-02]의 평가기준 "중"에 속한다. [12수학Ⅱ01-02] 함수의 극한에 대한 성질을 이해하고, 함수의 극한값을 구할 수 있다. [평가기준] 중: 함수의 극한에 대한 성질을 이용하여 함수의 극한값을 구할 수 있다. 이 문제는 연속함수에 대한 문제라고 말하기에는살짝 애매한 감이 있다. 또한, 조립제법 등1학년 수학 지식을 많이 요구하므로다소 특이한 문제이다. 그러나, 1학년 수학은 간접 출제 영역이므로문제 해결 능력과 직접적인 연관은 없다. 하지만, 이 문제에서 가장 중요한 풀이인삼차함수의 근의 개수를 판별에 대해명제를 통한 증명이 필수이므로추론 능력을 높게 평가한다. 따라서, 이 문항이 평가하는 능력은 아래와 같다:계산 능력이해 능력추론 능력(중점적) 일단..

20번 문항은 성취기준 코드 [12수학Ⅰ01-07]의 평가기준 "상"에 속한다. [12수학Ⅰ01-06] 지수함수와 로그함수의 뜻을 안다. [평가준거 성취기준 ①] 지수함수의 뜻을 알고, 지수함수의 그래프를 그릴 수 있으며, 그 성질을 설명할 수 있다. [평가기준] 상: 지수함수의 그래프와 지수함수의 성질을 활용한 문제를 해결할 수 있다. 물론, 그래프를 그릴 순 있겠지만이 문제에서 요구하는 것은 그래프로부터 얻을 수 있는 성질이며 특히, 대소 관계와 일대일대응을 가진다는 것만 파악하면 문제 없다. 그럼에도, 합성함수를 가져왔다는 부분과실질적으로 구할 수 없는 해인 $k$가 존재한다는 부분에서관계식을 조금 특이하게 세워야 한다. 그리고 $f\left(\cfrac{1}{k^3\times 5^{3k}}\rig..

19번 문항은 성취기준 코드 [12수학Ⅱ02-08]의 평가기준 "상"에 속한다. [12수학Ⅱ02-08] 함수의 증가와 감소, 극대와 극소를 판정하고 설명할 수 있다. [평가기준] 상: 다항함수의 극댓값과 극솟값을 구하고, 구하는 과정을 설명할 수 있다. 해당 문항은함수의 극댓값을 a를 포함하여 알아낸 다음,문제의 극댓값과 대조해보는 전형적인 문제이다. 따라서, 이 문항이 평가하는 능력은 아래와 같다:계산 능력이해 능력(중점적) 극댓값을 판정하고 $a$ 구하기 ( [12수학Ⅱ02-08] 상) [1] 극댓값을 구하기 위해 식을 미분하면 아래와 같다:$f'(x)=6x^2-6ax-12a^2$([12수학Ⅱ02-05] 중) [2] 도함수의 근을 구하기 위해$f'(x)=6(x^2-ax-2a^2)=6(x-2a)(x+a..

18번 문항은 성취기준 코드 [12수학Ⅰ03-04]의 평가기준 "하"에 속한다. [12수학Ⅰ03-05] 여러 가지 수열의 첫째항부터 제$n$항까지의 합을 구 할 수 있다. [12수학Ⅰ03-04] Σ의 뜻을 알고, 그 성질을 이해하고, 이를 활용할 수 있다. 혹시나 이 문제를 귀납적인 수열로 봤다면조금 풀이가 이상해질 수도 있는 문제이다. 수열에 대한 식을 있는 그대로 시그마 안에 녹일 수 있어야 한다. 이는, 어떻게 보면 시그마 식을 쭉 늘어놓고좋은 형태를 발견하는 것에 가까우므로 발견적 추론 능력을 평가하는 문항이다. 따라서, 이 문항이 평가하는 능력은 아래와 같다:계산 능력이해 능력발견적 추론 능력(중점적)[1] 수열에 대한 식을 보면$a_1+a_5=12$, $a_2+a_6=12$ $\cdots$로 ..