[2022 예비시행 22] 부등식을 잘 못 다루면 찝찝해지는 문제

이 게시판은 수능(모의고사) 문제에 대해

출제자의 의도를 탐구해보는 취지로 제작되었습니다.

 

댓글로 수능 문제 풀이를 신청 해주시면 모두 풀어드리겠습니다.

다만, 실용적인 풀이와는 거리가 있을 수 있다는 점 유의해주세요.

 

22예비22

 

그다지 단순하지 않아 보이는 함수에 대한 개수 세기 문제이다.

 

주어진 삼차함수가 그닥 예쁘게 떨어지는 함수가 아닐뿐더러

(나) 조건에 의하여 절댓값 함수의 양 끝을 모두 조사하여야 하고,

 

극값을 5개나 가지는 함수와 개수 세기 문제의 귀찮음으로 인하여

풀이의 동기를 떨어뜨리게 된다.

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문제를 풀어본 결과,

 

최댓값을 가장 기계적으로 찾는 방법은

 

일단 극댓값을 구해놓고

그 다음에 양단을 확인하는 방법이니 어렵지 않고,

 

이후에는

(가) 조건과 (나) 조건 모두 확실한 부등식을 세우고

조금의 논리적인 추론을 한다면

 

풀이 내내 예외적인 상황이 하나 없고

마지막에 남는 부등식도 고작 두 개밖에 안 남는 단순한 문제였다.

 

물론, 이 논리적 추론 수준이 생각보다 높으며

일단 내가 본 강사들의 풀이는 이 정도 수준의 추론을 다루지 않았다.

 

하지만 그 추론이 어렵냐, 하면 그건 또 아니다.

 

따라서 이 문제를 풀면서,

또는 해설 강의를 보면서 찝찝함을 느낀 사람들은

 

꼭 내 글을 읽어주기를 당부한다.

 

이제부터, 문제를 풀어보겠다.

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(가) 조건		그래프 개형 결정
함수 $|f(x)|$가 $x=a$에서 극대 또는 극소가 되도록 하는 모든 실수 $a$의 개수는 $5$이다.

 

일단, $x$축과의 교점에서 절댓값에 의하여 접어 올려지면서 극솟값이 생기게 된다.

 

그리고 교점이 세 개가 되면, 사이에 극댓값이 두 개가 있을 것이라 쉽게 예상할 수 있다.

그럼 극댓값 두 개와 교점에 의한 극솟값 세 개를 합하면 5개이므로 (가) 조건을 만족한다.

 

그런데, 굳이 이렇게 설명하지 않더라도

그래프를 무작정 그리다 보면 잘 알게 될 것이다:

 

 

이제부터는, 이러한 개형이 발생할 수 있는 조건을 판단해보자.

 

이 개형은 무조건 삼차함수와 $x$축 사이의 교점이 세 개 있어야 가능하다.

 

$q$로 함수를 $y$축 평행이동시킬 수 있으므로

두 극점 사이에 $x$축을 위치시킬 수 있도록 한다면

반드시 세 개의 교점을 가지게 될 것이다.

 

함수 $g(x)=x^3-3px^2$가 위 조건을 만족하도록

+$y$ 방향으로 0을 초과하도록 평행이동한다면

 

낮은 극값으로부터 두 극값의 차보다는 

적게 평행이동시켜야 한다.

 

$g'(x)=3x^2-6px=3x(x-2p)$이므로 극값의 $x$좌표는 $0$과 $2p$이며

극값의 차는 $|g(2p)-g(0)|=|-4p^3-0|=4p^3$이다.

 

따라서 $0<q<4p^3$이다.

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(나) 조건		부등식 세우기
닫힌구간 $[-1,\,1]$에서 함수 $|f(x)|$의 최댓값과 닫힌구간 $[-2,\,2]$에서 함수 $|f(x)|$의 최댓값은 같다.

 

이 함수는 우측이 가장 중요하므로,

우측 위주로 설명하겠다.

 

$b$가 자연수이므로 $2b>2$이다.

 

따라서 닫힌 영역 $[0, \, 2]$를 무조건 포함하는 영역은 아래와 같다:

 

닫힌구간 $[-1,\, 1]$ 부근에서  $f(0)$만이 극댓값이므로

$f(0)=q$를 기준으로 생각해보자.

 

만약, 닫힌구간 $[-1, \, 1]$ $f(1)$이 최댓값이라면 $f(1)>q$인데,

이로써 닫힌구간 $[1, \, 2]$은 그래프에서 항상 증가하는 구간이 되므로

 

$f(1)<f(2)$라는 점으로부터 (나) 조건을 위배하므로

(닫힌구간 $[-2, \, 2]$에서 $f(1)<f(2)$이므로 최댓값이 $f(2)$로 변동함)

 

닫힌구간 $[-1, \, 1]$에서 $f(1)$은 최댓값이 아님을 알 수 있다.

 

이는 이 함수의 좌측도 마찬가지이므로

$f(-1)$가 닫힌영역 $[-1, \, 1]$의 최댓값이라고 하자.

 

그렇다면, $f(-1)>q$라고 둘 수 있다.

 

이때, 그래프를 통해 닫힌영역 $[-2, \, -1]$에서

$f(x)$는 항상 감소함을 알 수 있으므로

$f(-2)>f(-1)$이 성립한다.

 

따라서 이는 (나) 조건을 위배한다.

결국 $f(0)$이 닫힌구간 $[-1, \, 1]$의 최댓값이라고 추론할 수 있다.

 

이를 통해 (나) 조건을 만족하도록 $|f(-2)|, |f(2)| \leq q$로 두어야 함을 알 수 있다.

이쯤 되면 대부분의 학생들이 잘못 짚고 넘어가는 문제점이 생긴다:

 

그래서, $f(-2)$와 $f(2)$가 음수인가?

그렇게 두면 부등식이 단순해지므로

문제 풀기는 쉽다.

 

하지만, 그래프만 보고 그렇게 단정지으면

그건 대강 때려 맞춘 것에 불과하다.

 

나는 그림을 설명할 때

한 번도 $f(2)$나 $f(-2)$ 등의 위치를 지정한 적이 없다.

 

즉, $f(-2)$가 양수여서 조건을 만족할 수도 있을 테고

$f(2)$가 양수여서 조건을 만족할 수도 있다.

 

물론 이를 규명하지는 않았지만,

풀이 과정상 규명할 필요도 없다.

 

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$f(-2)=-8-12p+q$이고 $f(2)=8-12p+q$이므로,

항상 $f(-2) < f(2)$를 만족한다.

 

그리고 이 둘은 절댓값이 항상 $q$보다는 작거나 같다.

 

일단, 절댓값 부등식이 $-q\leq A \leq q$꼴로 나타난다는 점을 이용하여

이 둘을 연립하면 $-q\leq f(-2)<f(2) \leq q$라는 점을 알 수 있으므로

함숫값이 양인지 음인지 전혀 신경 쓸 필요가 없다.

 

연립 부등식을 한 번에 풀기는 어려우므로

이와 동치인 명제 "$-q \leq f(-2)$를 만족하고 $f(2) \leq q$를 만족한다"로 치환한다.

 

정확히는 $f(-2)<f(2)$를 만족한다는 내용도 들어가야겠지만

이미 참임을 규명하였기에 필요없다.

 

$\rm{(i)}$ $-q \leq f(-2)$

 

$-q \leq -8-12p+q$에서 $6p+4 \leq q$이다.

 

$\rm{(ii)}$ $f(2) \leq q$

 

$8-12p+q\leq q$에서 $-12p+q$를 이항하면

$8\leq 12p$이고, $p$는 자연수이므로

해당 명제를 항상 만족한다.

 

따라서 위의 연립 부등식은 $6p+4\leq q$를 만족하는 단일 명제로 볼 수 있다.

 

즉, 두 가지 부등식만 만족하면 된다는 것이다:

 

$$q<4p^3$$

$$6p+4\leq q$$

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이제부터는 두 부등식을 만족하는 순서쌍을 구한다.

 

일단, 우변의 증가가 매우 빠른 $q<4p^3$부터 구해보자.

 

$p=2$일 때,

이미 우변이 $25$를 벗어나므로

 

$p=1$일 때 $1\leq q \leq 3$이고

나머지 경우는 모두 $1\leq q \leq 25$이다.

 

두 번째 부등식 이전에

$6p+4 \leq 25$를 만족하여야 하므로

 

$1\leq p\leq 3$이며,

$6p+4 \leq q$를 만족하는 순서쌍을 나열하면

 

$(2, 16) - (2, 25)$

$(3, 22) - (3, 25)$

 

즉, 순서쌍의 개수는 $(25-16+1)+(25-22+1)=14$이다.

 

$\rm{Answer:}$ $14$