이 게시판은 수능(모의고사) 문제에 대해
출제자의 의도를 탐구해보는 취지로 제작되었습니다.
댓글로 수능 문제 풀이를 신청 해주시면 모두 풀어드리겠습니다.
다만, 실용적인 풀이와는 거리가 있을 수 있다는 점 유의해주세요.
생전 처음 들어보는 조건과
굉장히 포괄적인 부등식,
많은 사람들이 당황하였고
대체로 그래프로 찍어 맞추는 경우가 허다했다.
문제를 풀어본 결과,
대우 명제를 통해 사잇값 정리를 얻고
조건을 우회하는 인수정리까지 논리적으로 잘 결합하면
그제서야 그래프의 개형을 떠올릴 수 있었다.
하지만, 그 후로도 다른 제시문의 조건으로부터
나머지 개형을 계속해서 추론해 나가야 하는 문제였다.
계속되는 명제와 계산에 지칠 수 있으나
개인적으로는 오히려 이러한 명제 중심의 문제가
수학이라는 학문에 걸맞는 문제가 아닌가 싶다.
개인적으로 상당히 퀄리티 높은 문항 중 하나라고 생각한다.
이제부터, 문제를 풀어보겠다.
문제에서 주어진 명제를 자칫 단일 명제처럼 볼 수 있는데,
문제를 풀기 위해서는 반드시 이 명제를 복합 명제로 바라보아야 한다.
$k$가 정수일 때만 부등식을 만족시키지 않고,
그 역은 성립하지 않는다는 부분으로부터 조건을 다음과 같이 바꾼다:
"$k$가 정수이면, 함수 $f(x)$에 대하여
$f(k-1)f(k+1)<0$을 만족시키지 않는다."
이렇게 $k$의 조건과 부등식 조건을 떼어내고 나면
우리는 부등식 조건이 마치 사잇값 정리의 대우와 유사함을 알 수 있다.
"연속함수 $f$에 대하여 $f(a)f(b)<0$ 이면,
열린 구간 $(a, b)$에서 $f(x)$는 근을 가진다."는 항상 참이다.
따라서, 사잇값 정리에 대우를 취하면
"열린 구간 $(a, b)$에서 $f(x)$가 근을 가지지 않으면
$f(a)f(b)<0$를 만족하지 않는다."는 항상 참이다.
그렇다면, $(k-1, k+1)$에서 $f(x)$가 항상 근을 가지지 않는다면
위의 명제를 만족할 수 있지 않을까?
삼차함수는 반드시 하나의 근을 가진다.
$k$는 모든 정수이므로
임의의 $n$에 대해 $(n-1, n+1)$에서 근을 가지지 않아야 한다.
근이 되도록 하는 어떤 실수 $\alpha$는 항상 어떤 정수 $m$에 대해
$m\leq\alpha<m+1$으로 나타낼 수 있으므로
무조건 $\alpha$가 $(m-1, m+1)$에 속하도록 나타낼 수 있다.
따라서, 이는 모순이다.
따라서, 모든 $(k-1, k+1)$에서 $f(x)$가 항상 근을 안 가지는 것은 아니다.
삼차함수의 근 근처에서 모순이 발생하기 때문이다.
어떤 $(k-1,k+1)$에서는 근이 존재한다는 뜻인데
근이 존재함에도 $f(k-1)f(k+1)<0$를 만족하지 않는 명제를 찾아야 하고
이 명제를 찾지 못하면 이 문제를 더이상 완벽하게 풀 수는 없다.
이 명제를 찾기 위한 방법은
$f(k-1)f(k+1)<0$를 만족하지 않는다고
굳이 부등식인 상태로 둘 필요는 없다는 것을 견지하는 것이다.
즉, $f(k-1)f(k+1)=0$를 만족하는 등식으로 두게 되면
우리에게 익숙한 명제를 찾아낼 수 있다.
그 명제는 바로 인수정리이다.
정확히는 인수정리를 딱 꼬집어 말하는 것이 아닌,
적절히 동치인 명제로 바꾸는 작업이 필요하다.
"$x=k-1$ 또는 $x=k+1$이 근이라면 $f(k+1)f(k-1)=0$이다."
이 명제는
"열린구간 $(k-1, k+1)$에서 근을 가진다."는 조건과
"$f(k-1)f(k+1)<0$"을 만족하지 않으므로
근의 근처에서 사잇값 정리를 우회하여
조건을 만족할 수 있게 된다.
게다가, 조건이 이미 만족되었으므로
그 구간 내에 다른 실근을 가져도 명제의 참거짓이 바뀌지 않는다는 것을 알 수 있다.
이제, 우리가 얻은 두 조건을 다시 나열해보자.
| 조건 1 | 사잇값 정리의 대우로 해석 | |
| 열린구간 $(k-1,k+1)$에서 근을 가지지 않으면 $f(k-1)f(k+1)<0$을 만족하지 않는다. | ||
| 조건 2 | 인수 정리로 해석 | |
| $x=k-1$ 또는 $x=k+1$이 근이면, $f(k-1)f(k+1)<0$을 만족하지 않는다. | ||
그럼, 이 두 조건을 엮은
"열린구간 $(k-1, k+1)$에서 근을 가지지 않거나
$x=k-1$ 또는 $x=k+1$이 근이면
$f(k-1)f(x+1)<0$을 만족하지 않는다."라는 명제를
필요충분조건으로 여길 수 있는지 판단하기 위해
$f(k-1)f(k+1)<0$를 만족하는 경우를 모두 나타내면 아래와 같다:
따라서, $x=k-1$ 또는 $x=k+1$에서 근을 가지지 않고
열린구간 $(k-1, k+1)$에서 근을 가질 때 $f(k-1)f(k+1)<0$을 만족한다는 것을 알 수 있다.
이 명제에 대우를 취하면
"$f(k-1)f(k+1)<0$를 만족하지 않으면
$x=k-1$ 또는 $x=k+1$에서 근을 가지거나
열린구간 $(k-1,k+1)$에서 근을 가지지 않는다."이며,
명제의 역이 성립하므로 이 명제는 필요충분조건이며
조건 1의 충분조건과 조건 2의 충분조건 이외의 조건은
모두 $f(k-1)f(k+1)<0$를 만족한다.
이를 이용하여 그래프를 그리면 아래와 같다:
따라서, 정수 $a$와 닫힌 구간 $[a-1,a+2]$에 속하는 실수 $b$ 대하여
$f(x)=(x-a)(x-a-1)(x-b)$가 성립한다고 볼 수 있다.
| 제시문 | 그래프 개형 결정 | |
| $f'\left(-\cfrac{1}{4}\right)=-\cfrac{1}{4}$, $f'\left(\cfrac{1}{4}\right)<0$일 때, $f(8)$의 값을 구하시오. | ||
여기서 곧바로 주어진 값을 대입하는 것은 옳지 않다.
그 이유는 구체적인 값이 있기 전에
$f'\left(\cfrac{1}{4}\right)<0$라는 추상적인 조건부터 해결하는 것이 순서상 옳기 때문이다.
그래서 앞의 식도 $f'\left(-\cfrac{1}{4}\right)<0$로 해석하게 되면,
"$x=0$ 근처에서 $f'(x)<0$인 개형이다."라고 추론할 수 있으므로
이런 그림은 일단 $x=0$ 지점에 감소하는 선 하나를 그리고
삼차함수를 연결하면 두 식이 이를 만족하는 것을 알 수 있다:
$f(x)=x(x-1)(x-b)$ $($단, $b<0$$)$
$f(x)=x(x+1)(x-b)$ $($단, $b>0$$)$
이 식을 단순하게 $f(x)=x(x\mp1)(x-b)$라고 두고 미분하면
$f(x)=(x^2\mp x)(x-b)$에서
$f'(x)=(2x\mp 1)(x-b)+(x^2\mp x)$이므로
$f'\left(-\cfrac{1}{4}\right)=\left(-\cfrac{1}{2}\mp 1\right)\left(-\cfrac{1}{4}-b\right)+\left(\cfrac{1}{16}\pm \cfrac{1}{4}\right)=-\cfrac{1}{4}$
$\left(\cfrac{1}{2} \pm 1\right)\left(\cfrac{1}{4}+b\right)=-\cfrac{1}{4}\mp \cfrac{1}{4}-\cfrac{1}{16}$
$\therefore \left(\cfrac{1}{2} \pm 1\right)b=-\cfrac{7\pm8}{16}$
$\mp$에서 $-$를 택하면 위쪽 부호만 취하는 것이니
$b$가 음수임을 알 수 있다.
$+$를 택하면, 아래쪽 부호만 취하는 것이니
$b$가 음수임을 알 수 있다.
이는 모순이므로 $-$부호를 취한 함수가 옳은 함수이며,
식에 의하여 $b=-\cfrac{5}{8}$이다.
따라서 $f(x)=x(x-1)\left(x+\cfrac{5}{8}\right)$이다.
$\therefore f(8)=8\times (8-1)\times \left(8+\cfrac{5}{8}\right)=8\times 7\times \left(\cfrac{69}{8}\right)=483$
$\rm{Answer: }$ $483$
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