[25수능 수학] 교육과정에 근거한 5번 해설

5번 문항은 성취기준 코드 [12수학II02-04]의 평가기준 "상"에 속한다.

 

[12수학II02-04] 함수 $y=x^n$($n$은 양의 정수)의 도함수를 구할 수 있다.

 

[12수학II02-05] 함수의 실수배, 합, 차, 곱의 미분법을 알고, 다항함수의 도함수를 구할 수 있다.

 

[평가준거 성취기준 ①] 다항함수의 도함수를 구할 수 있다.

 

[평가기준] 상: 함수의 실수배, 합, 차, 곱의 미분법을 이용하여 다항함수의 도함수를 구하고 이를 설명할 수 있다.

 

참고로, 평가기준 "중"에는 곱의 미분법이 포함되어 있지 않다.

 

[평가기준] 중: 함수의 실수배, 합, 차의 미분법을 이용하여 다항함수의 도함수를 구할 수 있다.

 

그러나, 해설에서 "상"은 하나의 절차로 취급하므로

곱의 미분법을 하나의 절차로 두고, 실수배, 합, 차의 미분법을 "중"으로 따로 분류할 것이다.

 

따라서, "상" 1점에 "중" 2점을 합산하여 3점이다.

 

특이한 점은 이 성취기준의 평가기준 "중"은 "하"의 반복과도 같다:

 

[평가기준] 하: 함수 $y=x^n$($n$은 양의 정수)의 도함수를 구할 수 있다.

 

따라서, 이 문항은 필연적으로 계산 능력이 중점적인 문항이 된다.

 

이 문항에서는 도함수의 기호 $f'(x)$를 토대로 도함수에 대한 문제임을 이해하고

곱으로 나타낸 함수의 미분법을 적용하여야 한다.

 

엄밀하게는 곱의 미분법이 굳이 필요하지 않으나,

출제자가 명백히 곱의 형태로 함수를 제시하였으므로

곱의 미분법을 이용한 풀이가 타당하다.

 

따라서, 이 문항이 평가하는 능력은 아래와 같다:

 

계산 능력 (중점적)

이해 능력

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[1] $f(x)$에 곱의 미분법을 적용하면 아래와 같다: ([12수학II02-04] 상)

 

$f(x)=(3x^2-x)\cfrac{d}{dx}(x^2+1)+(x^2+1)\cfrac{d}{dx}(3x^2-x)$

 

[2] 여기서, $\cfrac{d}{dx}(x^2+1)=2x$, $\cfrac{d}{dx}(3x^2-x)=6x-1$이므로 ([12수학II02-04] 중)

 

[3] $\therefore f'(x)=(3x^2-x)(2x)+(x^2+1)(6x-1)$ (계산 능력에 대해 하)

 

[4] 마지막으로 $x=1$를 대입하면

$f'(2)=(3-1)(2)+(1+1)(6-1)=4+10=14$ (계산 능력에 대해 하)

 

"하"에 속하는 식 또는 절차가 2개

"중"에 속하는 절차가 1개

"상"에 속하는 절차가 1개이므로 총점은 아래와 같다:

 

총점: 5

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이러한 문항을 만들기 위해서는

 

두 개의 다항함수의 곱을 제시하고,

그 도함수에 $x=1$을 대입하는 문제를 풀게 하면 된다.

 

다만, $f(x)$가 $5$차 이상의 다항함수인 경우,

교육과정에 대한 시비가 발생할 수 있으므로

 

반드시 $4$차 이하의 다항함수가 되도록 한다.

 

따라서, 이 문제에서는 이차함수 두 개의 곱으로 출제되었다.