[25수능 수학] 교육과정에 근거한 7번 해설

7번 문항은 성취기준 코드 [12수학II03-03], [12수학II03-04]의 평가기준 "하",

성취기준 코드 [12수학II02-04], [12수학II02-05]의 평가기준 "중"에 속한다.

 

[12수학II03-03] 정적분의 뜻을 안다.

[12수학II03-04] 다항함수의 정적분을 구할 수 있다.

 

[평가준거 성취기준 ①] 정적분의 뜻을 알고, 다항함수의 정적분을 구할 수 있다.

 

[평가기준] 하: 함수 $f(x)$의 부정적분 $F(x)$를 이용하여 $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) dx$를 $F(b)-F(a)$로 표현할 수 있다.

 

[12수학II02-04] 함수 $y=x^n$($n$은 양의 정수)의 도함수를 구할 수 있다.

[12수학II02-05] 함수의 실수배, 합, 차, 곱의 미분법을 알고, 다항함수의 도함수를 구할 수 있다.

 

[평가준거 성취기준 ①] 다항함수의 도함수를 구할 수 있다.

 

[평가기준] 중: 함수의 실수배, 합, 차의 미분법을 이용하여 다항함수의 도함수를 구할 수 있다.

 

교육청에서 출간한 수학과 교육과정의 적분 부분에는

"적분은 미분과 역관계에 있으며 $\cdots$"를 통해 부정적분 $F(x)$의 미분이 $f(x)$임을 밝히고 있다.

 

이 문항에서 부정적분 자체만 사용하는 것은

문제 해결에 큰 도움이 되지 않는다는 점을 파악하여야 한다.

 

따라서, 다른 유기적 개념인 미분을 이용하여 문제를 해결한다.

 

이러한 절차는 이해 능력을 수반한다기보다는

문제를 해결하기 위해 더 나은 도구를 택하는 문제 해결 능력과 연관이 깊다.

 

따라서, 이 문항이 평가하는 능력은 아래와 같다:

계산 능력

이해 능력

문제 해결 능력 (중점적)

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[1] $f(x)$의 부정적분 $F(x)$를 이용하면

$\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)dt=F(x)-F(0)=3x^3+2x$이다. ([12수학II03-03], [12수학II03-04] 하)

 

이 식 자체로는 더이상 알 수 있는 정보가 없다.

 

[2] 문제로부터 $f(x)$를 구하여야 하므로,

부정적분의 역연산인 미분을 양변에 취한다.

 

$\therefore f(x)-0=9x^2+2$ (문제 해결 능력에 대하여 상, [12수학II02-04], [12수학II02-05] 중)

 

[3] 마지막으로 $f(1)$의 값을 구한다.

 

$f(1)=9+2=11$ (계산 능력에 대하여 하)

 

"하"에 속하는 식이 2개

"중"에 속하는 절차가 1개

"상"에 속하는 절차가 1개이므로 총점은 아래와 같다:

 

총점: 5

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이러한 문항을 만들기 위해서는

 

$f(x)$의 부정적분이 $F(x)$ 외에도 $F(x)+\rm{Const.}$가 될 수 있다는 점에서

$F(x)-F(0)$의 미분이 $f(x)$이고,

다시 정적분을 활용하여 이를 역으로 적용하면

$\displaystyle\int_{0}^{x}f(x) dx$로 나타낼 수 있다.

 

이때, 이 함수를 어떤 다항함수로 정하면

그 다항함수를 미분하였을 때, 곧바로 $f(x)$를 얻을 수 있다.

 

마지막으로 $f(1)$의 값을 물음으로써

 

적분과 관련 있어보이는 문제에서

다항함수의 미분법을 유도할 수 있게 된다.